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数学
解析几何和经典数学模型的殊途同归
先说题目：
已知:抛物线
看起来很简单的题目。其实很难理解。
如果是求抛物线上一点的切线，很好办，直接erste Ableitung ，一次导，求出那一点的 Steigung，已知直线的Steigung和经过了一个点，这个直线就可以求出来了。如果不理解我上面这句话，请留言，我看看多少人留了言，可以今后再给大家复习一下。
但是，题目显然不是我上面说的这种情况，因为已知的 ( 8 | 0 ) 这一点，不在抛物线上。
用解析几何的方式来处理，我们看看如何办：
假设切点是P，那么这一点是 （Xp | f ( Xp) )
我们想到的基本思路是，如果求出了 Xp 的坐标值，那么就可以求得这一点 （Xp | f ( Xp) )，再加上 ( 8 | 0 ) 这一点，就可以求出这个曲线了。
第二个条件，直线和抛物线相切，是 Tangente，所以，对抛物线方程取 Erste Ableitung，就得到了所有和抛物线相切的直线的Steigung（斜率 ）。
比如假设 x=6的时候，在抛物线上找到 x=6 的对应点，这一点画个切线，这个切线的Steigung肯定就是 -6
......
比如假设 x=Xp的时候，在抛物线上找到 x=Xp 的对应点，这一点画个切线，这个切线的Steigung肯定就是 -Xp
上面的第一条件和第二条件相等，m1 = m2 得出一个结果:
...此处省去三百字...
上面这个方程可以算出来 Xp = 15 或者是 Xp = 1
以上是解析几何的算法，着实有些伤脑筋，基本属于勤能补拙型，而且要理解了 Steigung的定义。。。注意我上面的红字部分。。。才可以运用自如。
用经典数学模型来处理，我们看看如何办：
假设我们要求的直线是 g (x) = ax +b, 这里回到了我之前讲的 Funktion的Rekonstruktion的问题上面，两个参数，需要两个条件。
第一个条件 ( 8 | 0 ) 这一点, 那么 ： 0 = 8a + b
第二个条件 直线和曲线相切，只有一个交点，说明 "直线方程= 曲线方程，只有一个解 " 德语教科书，请参见 Parabel Lösungsmenge 这一章。
...此处省去三百字...
上面这个Parabel Lösungsmenge 只有一个
所以∆=0 也就是下面这一堆
两个条件用完了，我们得到了一个方程组：
去掉b，只留下a，得到
上面分别得到两个a值，一个是 a =-15 , 另一个是 a=-1
上面的已知a，可以求得b，这样，直线的方程就定下来了。
最后的问题：
不论哪种方法，为什么求出来的直线是两个，哪个才是我们需要的呢？
留给大家思考，下次上课提出问题。
下面这个是提示图：
下面这个是提示图：
Sin (ax) 看到的 X 轴 缩放问题
今天同学问到Sin (ax) 的一些 Periode的问题。
看上图，首先，直观上来讲，g(x) = Sin (ax) 和 f(x) = Sin (x) 的关系，
根据定义，
ax 代替了 x的位置，那么，就相当于图像沿着x轴缩小了多少倍。
所以 g (x) 是 f (x) 图像的缩小 a 倍之后的图像。 <-------- 以上说法，适用于所有 Funktion
上面这个要当成结论记下来。不懂的，看教科书。
比如 a = 2 那就是 图上 Sin (2x) 的图像。比起 Sin (x) 的图像，确实是窄了一半。
比如 a = 4 那就是 图上 Sin (4x) 的图像。比起 Sin (x) 的图像，确实是四分之一。
周期 P (Periode) 根据三角函数定义 ，
P = 2 π / a 这个结论适用于
三角函数 cos， sin
P = 2 π / a 这个结论适用于
三角函数 cos， sin
比如 a = 2 那就是 图上 Sin (2x) 的图像。也可以直观的看出 P = π。
比如 a = 4 那就是 图上 Sin (4x) 的图像。也可以直观的看出 P = π/2。
最后，回到一个实际的题目：
Q：如果 在 [0, π] 之间，
函数 Sin (ax) 有三个 Nullstelle，
问 a 是多少？
函数 Sin (ax) 有三个 Nullstelle，
问 a 是多少？
A：P = 2 π / a 是三角函数的定义，
再根据上面的图像，
周期 Periode 是 π 的时候，
Sin 有三个Nullstelle
周期 Periode 是 π 的时候，
Sin 有三个Nullstelle
所以：a =2
下面这个是Cos 的图像，要当成结论，记下来
全世界高中生本不应该了解，但是都必须了解的三种射线 α β γ
开篇之前，先给大家看定义：
看英语比较合适，因为 前两个 α ， β 都叫 particle ,是粒子，后一个 γ 是 Ray。
读英语文献，这很重要，因为德语和中文都叫的很混合 射线，放射，衰变都可以。德语就一个 Strahlung，更加的笼统了。为什么强调这个，看下文。
好吧，好复杂的，本来就是科学家研究的东西，全世界都要让中学生掌握，这是个什么鬼。
这种高中生本来就不应该来了解的东西，为什么都要到课堂上讲？
原因只有一个：高中物理更关心的是这三种粒子在电磁场中的轨迹，说白了，不是考你三种粒子长啥样，从哪里来，而是考你对电场 和 磁场的基本性质的认识。不论哪种语言，考题第一句话是：粒子以速度V垂直入射。。。。。。
这种考题在中国高考中出现多次，在德国高考中也有出现，只是，中国高考更难，需要根据电场强度和粒子带电荷多少，计算轨迹和能量转化，碰撞和动量守恒，得到最终速度状态。有几年，中国高考物理，这类型的题都是最后的大题，各种参数，故意难倒考生。最变态的，电磁场互相垂直，组成一个网，电场强度 E 按照 Sin 正玄变化，磁场按 Cos 变化，这α ， β 粒子还在电磁场里面跳舞，让你计算轨迹。
最差，也是个选择题，让考生说，根据轨迹，确定是α ， β 还是 γ 。
高考，绝对不会考 维基百科里面讲的那些科学家才研究的原子核东西。
下面总结一些这些粒子的基本特性，就可以保证这类似的题理解，其实很简单：
电场中
α 是He核，带正电，电场中偏向负极板运动
β 是e电子，比质子轻很多，带负电，电场中偏向正极板运动
γ 是Ray，不带电，直线运动
磁场中
大家想想看，三种射线如何运动？
p.s. 从高中开始，我就在想，既然爱因斯坦的广义相对论时空扭曲，光线γ Ray凭什么就不能被电场或者磁场扭曲呢？后来，慢慢理解了，人家爱因斯坦说的时空扭曲是质量大的物体引起的重力场，比如地球对我们的引力，恒星，黑洞，暗物质之类的质量大到可以偏转光线轨迹，根本就和电场和磁场是两码事情。高中老师没给我说，让我活活想了好几年。。。唉
欧美高考作为基础知识，但是中国高考考生根本做不出的大题 -- 体积积分
有一种题，德国高考，不论文理，都当成基础知识，而且平时也有练习题。但是中国高考不要求。
这就是体积积分。
下面这个图，表面看起来很简单：一个抛物线，Y轴对称，经过了 ( 0 | 3,5 ) 这一点，也经过了 ( 4 | 0 )这个点，问，这个抛物线绕X轴旋转，得到多大空间体积。
知识点跨越了中国初二知识，大学高等数学第一年积分知识，高等物理第一年的体积积分知识。理解起来，其实对于考生是很难的。
要理解这个题，先要求出确定抛物线方程。
因为y轴对称 ， f(x) = f (-x) , 所以 b = 0 ---> 这个如果不懂，可以另外找时间专门解释，这是基础知识。
因为经过了 ( 0 | 3,5 ) 这一点，所以 c = 3,5 ---> 这个如果不懂，可以另外找时间专门解释，这是基础知识。
另外，通过了 ( 4 | 0 ) 这一点，所以 a = - 3,5/16 = - 7/32
方程一下子变成了
抛物线方程得到了，中学二年级知识就此结束了。
---- 我没有底线 只有快乐的分割线 ----
下面来说说中国大学知识，但是在欧洲是中学基础要求
我把这个题再画的立体一些，就是下面这个结果：
曲线绕x轴一圈，成了个橄榄球形状。体积需要由面积积分来得到。先对这个橄榄球切片，就是我图中画的那些横截面，理论上，可以切无数个。这里为了方便，我简化了，画了三个。
随着x值的变化，这些切片的 半径 R是 一直在变化的，所有这些切片扫过的空间，组成的体积，就是我们要求得的体积了。
开始了：
第一步，切片的面积，有了面积，你才能对面积进行积分
半径 R 其实就是 对应的 f (x) 的值，所以下面的结果
体积 V (x) 需要对面积 从 -4 到 4 这个区间进行积分运算
把面积的方程代入到以上的体积方程里面，得到了下面这个结果
上面这个积分如何得到结果，是积分运算的基础知识，不涉及到逻辑思维和解题方案，我就不用再罗嗦了。不懂的，留言
