$$f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5$$




下方蓝色曲线因为和上方紫色曲线对称
所以 下方曲线 g(x)=-f(x)$$f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5$$
$$g(x) = -1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) - 1.5$$
需要求得的面积
$$F = \int_{-5}^5 [f(x)-g(x)] \,dx =\int_{-5}^5 (1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5 - [-1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) - 1.5])\,dx$$
$$\Rightarrow F = \int_{-5}^5 [3 \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 3]\,dx$$
$$\Rightarrow F = \int_{-5}^5 3 \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2})\,dx + \int_{-5}^5 3\,dx$$
$$\Rightarrow F =  \left|3 \cdot -Cos (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2})\frac{5}{\pi}\right|_{-5}^5 +  \left|3x\right|_{-5}^5$$
$$\Rightarrow F = [ 3 \cdot -Cos (\frac{\pi}{5}\cdot5 + \frac{\pi}{2})\frac{5}{\pi}]- [3 \cdot -Cos (\frac{\pi}{5}\cdot(-5) + \frac{\pi}{2})\frac{5}{\pi}]+  3\cdot5-3\cdot(-5)$$
$$\Rightarrow F = [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (\pi + \frac{\pi}{2})]- [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (-\pi + \frac{\pi}{2})]+  3\cdot5-3\cdot(-5)$$
$$\Rightarrow F = [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (\frac{3}{2}\pi)]- [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (-\frac{\pi}{2})]+  15+15$$
$$\Rightarrow F = [- \frac{15}{\pi}\cdot 0]- [- \frac{15}{\pi}\cdot 0]+  15+15$$
$$\Rightarrow F =0+0+15+15$$
计算结果，阴影部分面积为：$$\Rightarrow F =30 $$

已知如上图，是一个Sinus的曲线，求这个曲线的方程 f (x)
分析：


先假设  \(f(x) = a Sin (b x + c ) + d\)



那么只要确认了方程中的 a b c d等等，就确认了这个方程

求a，需要的条件是 Amplitude。中文叫做 振幅。 图中最高点是 (0 ,  3) 最低点是 (5,   0 )  那么 振幅就是  1.5



求d， f(x) =1,5 的地方是图像的中心线，想到与原始 sin图形向上移动了 1.5， 所以  d = 1.5



求b，任何sin 或者 cos 的波形，周期 Period  肯定是 2Pi / b。 图上明确显示  周期是10 ，所以， \(2\pi  / b   = 10    -->  b = 2\pi / 10\)

这个方程变成了

$$f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{2\pi}{10}x + c ) + 1.5$$

求c， 已知 图形经过了 (0  ,   3 ) 所以     \(3 = 1.5  \cdot Sin (\frac{2\pi}{10}\cdot 0 + c ) + 1.5  \Rightarrow c=\frac{\pi}{2}\)



所以，答案是：

\(f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{2\pi}{10}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5\)

先说题目：

已知:抛物线
求:与该抛物线相切的直线 g(x) 的方程，并且 g(x)经过 ( 8 |  0 ) 这一点。



看起来很简单的题目。其实很难理解。

如果是求抛物线上一点的切线，很好办，直接erste Ableitung ，一次导，求出那一点的 Steigung，已知直线的Steigung和经过了一个点，这个直线就可以求出来了。如果不理解我上面这句话，请留言，我看看多少人留了言，可以今后再给大家复习一下。

但是，题目显然不是我上面说的这种情况，因为已知的 ( 8 | 0 ) 这一点，不在抛物线上。

用解析几何的方式来处理，我们看看如何办：
假设切点是P，那么这一点是 （Xp    |     f ( Xp)  )
我们想到的基本思路是，如果求出了 Xp 的坐标值，那么就可以求得这一点 （Xp    |     f ( Xp)  )，再加上  ( 8 | 0 ) 这一点，就可以求出这个曲线了。
第一个条件，看图中的阴影三角形部分：

上面这个 就是 直线 g (x) 的 Steigung （斜率 ）


第二个条件，直线和抛物线相切，是 Tangente，所以，对抛物线方程取 Erste Ableitung，就得到了所有和抛物线相切的直线的Steigung（斜率 ）。
也就是说，所有和抛物线相切Tangente的直线，Steigung严格遵守 m2 这个条件。说明白一点：比如假设 x=1 的时候，在抛物线上找到 x=1 的对应点，这一点画个切线，这个切线的Steigung肯定就是 -1
比如假设 x=6的时候，在抛物线上找到 x=6 的对应点，这一点画个切线，这个切线的Steigung肯定就是 -6
......
比如假设 x=Xp的时候，在抛物线上找到 x=Xp 的对应点，这一点画个切线，这个切线的Steigung肯定就是 -Xp

上面的第一条件和第二条件相等，m1 = m2 得出一个结果:

现在，离成功只有一步之遥了。我们已经算出来Xp了，代入到 f (x) 里面，就能知道对应的 f (Xp)是多少。P的坐标就此确定了。。。有了P这一点，也有了 ( 8 | 0 ) 这一点，直线经过了这两点，g (x) 就求出来了。

以上是解析几何的算法，着实有些伤脑筋，基本属于勤能补拙型，而且要理解了 Steigung的定义。。。注意我上面的红字部分。。。才可以运用自如。




用经典数学模型来处理，我们看看如何办：

假设我们要求的直线是 g (x) = ax +b,   这里回到了我之前讲的 Funktion的Rekonstruktion的问题上面，两个参数，需要两个条件。

第一个条件 ( 8 | 0 ) 这一点, 那么 ： 0 = 8a + b 

第二个条件 直线和曲线相切，只有一个交点，说明  "直线方程= 曲线方程，只有一个解 " 德语教科书，请参见 Parabel Lösungsmenge 这一章。

我这里先用数学的方法来解一下，就是说，这个问题交给数学家，他们会如何来算：

我们再来看看物理学家是怎么想的：

 物理学家会说，能量守恒。Energieerhaltungssatz  (eng. law of conservation of energy) 

1807年的托马斯·杨 就指出，动能用下面这个公式来计算：

二元一次方程，也就是 2. Grades ，描述了抛物线。不论哪个国家，中学生必须掌握二元一次方程的性质。因为这是打开理科学习的敲门砖，是数学和物理两门学科的第一座大桥梁，也是今后积分运算和微分运算的第一次运用。

笔者找了网上一些说法，包括Wikipedia的描述，觉得都没有从根本上解释抛物线的二次方程的含义。这里做了个手稿，简单介绍一下，做到抛砖引玉。

看上图，忽略空气阻力（或者说，小球足够重），小球从原点起抛出，做抛物线运动，初始速度可以分解为两个方向的分速度，Vxo 和 Vyo 。在原点的时候是t1时刻，到再次落地是t2时刻。那么，球运动的轨迹就是抛物线。在y方向上运动的距离，我们可以用fy(t)来代表，在x方向上运动的距离，我们用fx(t)来代表。g是地球重力加速度。

y方向上运动，随时间推移，速度因为重力原因，越来越慢，运动的高度逐渐增加，慢慢到达最高峰，速度为0时，就开始降落。那么这个最高点在哪里，是可以由g和Vyo(y方向上的初始速度)来决定的

x方向上的运动，基本可以看作是线性的，时间和距离成正比，没什么好商量。

好了，解释这么多，留个思考题给中学生：如果 Vxo = 0 ，代表什么物理含义呢？

既然欧美对中学素质教育重视，不像中国高考一样一考订终身，是不是中国的高中知识点都覆盖了欧美高考呢？ 不是。

这里以数学为例：微积分思想，是欧美重视的考点，而中国高考数学不会要求。

比如，微分思想 Differentiation，对二次方程求导，得到最大值计算结果，就是德国高考数学必考的考点了。理解了 Erste Ableitung 之后，这些题就可以游刃有余的解决，五分钟之内完成，特别轻松。

再有，积分思想 Integration，德国高考最后一题，不管是哪个联邦的试卷，都是大题，拉分题。一般是求某两个曲线围起来的面积或者求某些曲面围起来空间的体积。计算都非常简单，只要理解最基本的积分方法，五分钟之内也可以完成了。