$$f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5$$




下方蓝色曲线因为和上方紫色曲线对称
所以 下方曲线 g(x)=-f(x)$$f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5$$
$$g(x) = -1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) - 1.5$$
需要求得的面积
$$F = \int_{-5}^5 [f(x)-g(x)] \,dx =\int_{-5}^5 (1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5 - [-1.5  \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) - 1.5])\,dx$$
$$\Rightarrow F = \int_{-5}^5 [3 \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2} ) + 3]\,dx$$
$$\Rightarrow F = \int_{-5}^5 3 \cdot Sin (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2})\,dx + \int_{-5}^5 3\,dx$$
$$\Rightarrow F =  \left|3 \cdot -Cos (\frac{\pi}{5}x + \frac{\pi}{2})\frac{5}{\pi}\right|_{-5}^5 +  \left|3x\right|_{-5}^5$$
$$\Rightarrow F = [ 3 \cdot -Cos (\frac{\pi}{5}\cdot5 + \frac{\pi}{2})\frac{5}{\pi}]- [3 \cdot -Cos (\frac{\pi}{5}\cdot(-5) + \frac{\pi}{2})\frac{5}{\pi}]+  3\cdot5-3\cdot(-5)$$
$$\Rightarrow F = [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (\pi + \frac{\pi}{2})]- [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (-\pi + \frac{\pi}{2})]+  3\cdot5-3\cdot(-5)$$
$$\Rightarrow F = [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (\frac{3}{2}\pi)]- [- \frac{15}{\pi}\cdot Cos (-\frac{\pi}{2})]+  15+15$$
$$\Rightarrow F = [- \frac{15}{\pi}\cdot 0]- [- \frac{15}{\pi}\cdot 0]+  15+15$$
$$\Rightarrow F =0+0+15+15$$
计算结果，阴影部分面积为：$$\Rightarrow F =30 $$

已知如上图，是一个Sinus的曲线，求这个曲线的方程 f (x)
分析：


先假设  \(f(x) = a Sin (b x + c ) + d\)



那么只要确认了方程中的 a b c d等等，就确认了这个方程

求a，需要的条件是 Amplitude。中文叫做 振幅。 图中最高点是 (0 ,  3) 最低点是 (5,   0 )  那么 振幅就是  1.5



求d， f(x) =1,5 的地方是图像的中心线，想到与原始 sin图形向上移动了 1.5， 所以  d = 1.5



求b，任何sin 或者 cos 的波形，周期 Period  肯定是 2Pi / b。 图上明确显示  周期是10 ，所以， \(2\pi  / b   = 10    -->  b = 2\pi / 10\)

这个方程变成了

$$f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{2\pi}{10}x + c ) + 1.5$$

求c， 已知 图形经过了 (0  ,   3 ) 所以     \(3 = 1.5  \cdot Sin (\frac{2\pi}{10}\cdot 0 + c ) + 1.5  \Rightarrow c=\frac{\pi}{2}\)



所以，答案是：

\(f(x) = 1.5  \cdot Sin (\frac{2\pi}{10}x + \frac{\pi}{2} ) + 1.5\)