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解析几何和经典数学模型的殊途同归
先说题目： 已知:抛物线 求:与该抛物线相切的直线 g(x) 的方程，并且 g(x)经过 ( 8 | 0 ) 这一点。 看起来很简单的题目。其实很难理解。 如果是求抛物线上一点的切线，很好办，直接erste Ableitung ，一次导，求出那一点的 Steigung，已知直线的Steigung和经过了一个点，这个直线就可以求出来了。如果不理解我上面这句话，请留言，我看看多少人留了言，可以今后再给大家复习一下。 但是，题目显然不是我上面说的这种情况，因为已知的 ( 8 | 0 ) 这一点，不在抛物线上。 用解析几何的方式来处理，我们看看如何办： 假设切点是P，那么这一点是 （Xp | f ( Xp) ) 我们想到的基本思路是，如果求出了 Xp 的坐标值，那么就可以求得这一点 （Xp | f ( Xp) )，再加上 ( 8 | 0 ) 这一点，就可以求出这个曲线了。 第一个条件，看图中的阴影三角形部分： 上面这个 就是 直线 g (x) 的 Steigung （斜率 ） 第二个条件，直线和抛物线相切，是 Tangente，所以，对抛物线方程取...
Sin (ax) 看到的 X 轴 缩放问题 今天同学问到Sin (ax) 的一些 Periode的问题。 看上图，首先，直观上来讲，g(x) = Sin (ax) 和 f(x) = Sin (x) 的关系， 根据定义， ax 代替了 x的位置，那么，就相当于图像沿着x轴缩小了多少倍。 所以 g (x) 是 f (x) 图像的缩小 a 倍之后的图像。 <-------- 以上说法，适用于所有 Funktion 上面这个要当成结论记下来。不懂的，看教科书。 比如 a = 2 那就是 图上 Sin (2x) 的图像。比起 Sin (x) 的图像，确实是窄了一半。 比如 a = 4 那就是 图上 Sin (4x) 的图像。比起 Sin (x) 的图像，确实是四分之一。 周期 P ...
全世界高中生本不应该了解，但是都必须了解的三种射线 α β γ 开篇之前，先给大家看定义： α 戳这里 https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_particle β 戳这里 https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_particle γ 戳这里 https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_ray 看英语比较合适，因为 前两个 α ， β 都叫 particle ,是粒子，后一个 γ 是 Ray。 读英语文献，这很重要，因为德语和中文都叫的很混合 射线，放射，衰变都可以。德语就一个 Strahlung，更加的笼统了。为什么强调这个，看下文。 好吧，好复杂的，本来就是科学家研究的东西，全世界都要让中学生掌握，这是个什么鬼。 这种高中生本来就不应该来了解的东西，为什么都要到课堂上讲？ 原因只有一个：高中物理更关心的是这三种粒子在电磁场中的轨迹，说白了，不是考你三种粒子长啥样，从哪里来，而是考你对电场 和 磁场的基本性质的认识。不论哪种语言，考题第一句话是：粒子以速度V垂直入射。。。。。。 这种考题在中国高考中出现多次，在德国高考中也有出现，只是，中国高考更难，需要根据电场强度和粒子带电荷多少，计算轨迹和能量转化，碰撞和动量守恒，得到最终速度状态。有几年，中国高考物理，这类型的题都是最后的大题，各种参数，故意难倒考生。最变态的，电磁场互相垂直，组成一个网，电场强度 E 按照 Sin 正玄变化，磁场按 Cos 变化，这α ， β 粒子还在电磁场里面跳舞，让你计算轨迹。 最差，也是个选择题，让考生说，根据轨迹，确定是α ， β 还是 γ 。 高考，绝对不会考 维基百科里面讲的那些科学家才研究的原子核东西。 下面总结一些这些粒子的基本特性，就可以保证这类似的题理解，其实很简单： 电场中 α 是He核，带正电，电场中偏向负极板运动 β 是e电子，比质子轻很多，带负电，电场中偏向正极板运动 γ 是Ray，不带电，直线运动 磁场中 大家想想看，三种射线如何运动？ p.s. 从高中开始，我就在想，既然爱因斯坦的广义相对论时空扭曲，光线γ Ray凭什么就不能被电场或者磁场扭曲呢？后来，慢慢理解了，人家爱因斯坦说的时空扭曲是质量大的物体引起的重力场，比如地球对我们的引力，恒星，黑洞，暗物质之类的质量大到可以偏转光线轨迹，根本就和电场和磁场是两码事情。高中老师没给我说，让我活活想了好几年。。。唉 ...
欧美高考作为基础知识，但是中国高考考生根本做不出的大题 -- 体积积分 有一种题，德国高考，不论文理，都当成基础知识，而且平时也有练习题。但是中国高考不要求。 这就是体积积分。 下面这个图，表面看起来很简单：一个抛物线，Y轴对称，经过了 ( 0 | 3,5 ) 这一点，也经过了 ( 4 | 0 )这个点，问，这个抛物线绕X轴旋转，得到多大空间体积。 知识点跨越了中国初二知识，大学高等数学第一年积分知识，高等物理第一年的体积积分知识。理解起来，其实对于考生是很难的。 要理解这个题，先要求出确定抛物线方程。 因为y轴对称 ， f(x) = f (-x) , 所以 b = 0 ---> 这个如果不懂，可以另外找时间专门解释，这是基础知识。 因为经过了 ( 0 | 3,5 ) 这一点，所以 c = 3,5 ---> 这个如果不懂，可以另外找时间专门解释，这是基础知识。 另外，通过了 ( 4 | 0 ) 这一点，所以 a = - 3,5/16 = - 7/32 方程一下子变成了 抛物线方程得到了，中学二年级知识就此结束了。 ---- 我没有底线 ...
如何解高考中的几何题 China vs. Germany 2015 年，德国高考有个几何题，难倒一片考生，骂题目太难，你出题的人是变态。 图形是这个样子的： 好吧，我给你看看，什么叫变态。中国高考几何题是这个样子的： 或者这个样子的 还有这个 下面这个考生估计已经抓狂到满头白发，看看他老人家的试卷： 德国的青年人啊，你烧高香吧，就一个金字塔，规则的不能再规则了。 这里，我说说，解答这类题的关键。 一定要把题目中的空间几何模型，在头脑中建立成可以转动的三维实体。如果可能，让自己能够想象，从正上方，正侧面，正前方，观察这个几何模型时，看到的图像。 就好象你在三维设计软件里面，用鼠标随意转动一个三维物体一样。 有了这个前提。 你会发现，德国的那个考题 无论从哪个侧面看，都是等腰三角形 Gleichschenkliges Dreieck，从正上方看，是个正方形 Quadrat 题目中也说了，是金字塔 Pyramid 剩下的工作，不用我说了吧。 ...
物理学中的半衰期 Halbwertszeit (eng. Half-life) 数学中的对数应用 Logarithmus (eng. Logarithm) 欧美理科高考考些啥？ 绝对不会考中国式的花样繁多的变化，绞尽脑汁的头疼 欧美只考对基础知识的理解，以及基础知识的实战应用 今天有同学问到 logarithmus 的问题，考题是一个原子半衰期的实际例子。 半衰期 half-life 看这里：https://en.wikipedia.org/wiki/Half-life 对数 logarithmus 看这里： https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm 半衰期，究其含义，量减半，需要多少时间。有些元素要上亿年，有些却弹指一挥间。 根据定义，可以得到以上这个方程，这个方程是作为已知条件，题目中告诉考生的。两边消去 N0 得到了一个只有 t 1/2 和 为未知数的方程。 e 是一个固定值，是已知数，不懂的，戳这里 欧拉常数 https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant) t 1/2 就是需要求的半衰期时间，但是 这个值如何得到呢？ 是这个反应的反应速率常数，一般是应用题作为已知量告诉考生的（或者上一个小题，事先求出的）。 换句话说，这个方程里面，t 1/2 是唯一的未知量，马上可以计算出来了。 怎么计算呢？ 用对数 Logarithmus (eng. Logarithm) 等式两边同取对数，让指数 （ -t 1/2 ）变成 乘数 -t 1/2 = loge (1/2) = ln (1/2) ...(此处省去三百字)... t 1/2 = 很简单的题目, 这就是欧美高考 p.s. ...(此处省去三百字)... 这个地方如果你不清楚，省去了哪些，请翻阅对数运算规则。不懂就留言吧。 ...
数学考试的重点难点 Rekonstruktion von Funktionen 和很多上德国中学的学生交流，不论他们母语是什么，根据条件求函数 ( Rekonstruktion Aufgaben)，是个重点，也是难点。这里来分析一下，如何针对性思考。 首先，来讲一讲，为什么是重点。因为，Rekonstruktion 是得到所有数学，化学，物理公式的基础。相信大家都见过什么万有引力公式啊，热力学公式啊，能量公式等等，里面多多少少有些所谓的常数的东西，比如 里面的 万有引力常数 G （Gravitationskonstante） 怎么得来的呢？ 戏说戏说 —— 牛顿 假设各种各样的 公式，比如二次方啊，开根号啊，加减乘除啊，各种参数。然后，用实验的方法，测定距离r，引力F，两个物体的质量 m1，m2. 一个一个的去试，如果得出了大而统一的结论，那就成功了。可别小看了这个简单的公式，有很多人，花一辈子，都试不出来，和运气也有很大的关系。 上面这个过程，就是根据已知条件，求未知参数的大小。可见，这是多么重要的方法了。 再来讲一讲，难点。 假设一个 函数 f (x) ，然后给一堆条件，让你根据已知条件求 那些 a， b， c， d固定值 (Constante) 给的这堆条件里面，一般都是，当x值是多少的时候，f(x)是多少多少；经过某些点；在某些地方，得到最大值，等等。这个其实就是我前面讲的，测了一些实验的结果，给一堆数据，让科学家去分析。 技巧一：有几个参数，就一定有几个条件。举个例子，需要 rekonstruieren 的 f(x)里，只有两个参数 a ， b，但是，题目中给了三个条件：经过 （1，2）这个点，经过 （3，4）这个点，经过 （7，8）这个点。那么，这个题一定是出错了。 技巧二：需要求的参数个数，和你根据已知数据得到的方程数量一定是相等的。得到的这些方程，就组成了一个方程组 ( Gleichungssysteme ) 也就是说，需要求的 f (x) 里有 a，b，c 三个参数要计算出来，那肯定需要三个无关联方程。多了没用，少了求不出来。 技巧三：不论你先改哪个方程，先消掉哪个常数，最后的结果，都一样，不要迟疑。如果在计算过程中，一会儿想消去b，一会儿又想，可能先抵销a更好。其实，都一样，按照一个方向计算下去，就可以了。 方程组 ( Gleichungssysteme ) 其实就是 矩阵...
为什么全世界都把二元抛物线方程定义为中学生必须掌握的数学和物理知识 （二） 能量守恒 这里把例子深入一下，还是那个抛物线例子 -- 地球上所有理工科高考必考考点：小球能到达的最高点 Sy 是多高? 我这里先用数学的方法来解一下，就是说，这个问题交给数学家，他们会如何来算： 先进行一次微分，德语叫 erste Ableitung , 英语叫first derivative，中文叫做 一次求导，小朋友要记牢，这是同一个意思。一次微分式等于0时，曲线的斜率 (Steigung) 为0，得到 t 的值。说明到最高点，需要多少时间。 然后，把求出的 t 值代入 fy(t) 这个 function，就得到了 结果 Sy 这个过程如果你不熟悉，请反复理解记牢，这是基础中的基础。如果不理解，地球上的高考数学题，你基本不能下笔。去火星吧。 数学家说，上面就是结果。不管你服不服，反正我是严格按照数学理论推导的。如果物理现象不是这个样子，只有一种可能：物理理论需要修正了 ！！！ 我们再来看看物理学家是怎么想的： 物理学家会说，能量守恒。Energieerhaltungssatz (eng. law of conservation of energy) 1807年的托马斯·杨 就指出，动能用下面这个公式来计算： 牛顿又说了，一个物体受力做功，等于力和距离的乘积： 当小球抛到最高点，我们只关心Y方向的运算，受到重力做功刚好等于消耗掉所有的Y方向上的动能，所有动能转化为势能。 物理学家也得到了和数学家一样的结果。 大家都松一口气，不用再修正之前的物理理论，数学家也不用批判前辈了。 将来如果有小朋友长大了从事物理研究工作，就会发现，物理学家每天就干下面的事情： 1. 发现了一个奇怪的物理现象， 2. 假设一种理论，用以前的物理理论和数学理论去解释，希望得到更广范的理论 3. 再用解释好的数学模型，推测还没有发生的物理现象 4. 最后呢，用物理实验的方式去创造还没有发生的物理现象，看看理论是不是正确。 引力波，爱因斯坦广义相对论所预言的一种以光速传播的时空波动，早就被爱因斯坦用理论计算预言。他死去这么多年了，2016现在才被实验证明，是存在的。 ...
为什么全世界都把二元抛物线方程定义为中学生必须掌握的数学和物理知识 二元一次方程，也就是 2. Grades ，描述了抛物线。不论哪个国家，中学生必须掌握二元一次方程的性质。因为这是打开理科学习的敲门砖，是数学和物理两门学科的第一座大桥梁，也是今后积分运算和微分运算的第一次运用。 笔者找了网上一些说法，包括Wikipedia的描述，觉得都没有从根本上解释抛物线的二次方程的含义。这里做了个手稿，简单介绍一下，做到抛砖引玉。 看上图，忽略空气阻力（或者说，小球足够重），小球从原点起抛出，做抛物线运动，初始速度可以分解为两个方向的分速度，Vxo 和 Vyo 。在原点的时候是t1时刻，到再次落地是t2时刻。那么，球运动的轨迹就是抛物线。在y方向上运动的距离，我们可以用fy(t)来代表，在x方向上运动的距离，我们用fx(t)来代表。g是地球重力加速度。 y方向上运动，随时间推移，速度因为重力原因，越来越慢，运动的高度逐渐增加，慢慢到达最高峰，速度为0时，就开始降落。那么这个最高点在哪里，是可以由g和Vyo(y方向上的初始速度)来决定的 x方向上的运动，基本可以看作是线性的，时间和距离成正比，没什么好商量。 好了，解释这么多，留个思考题给中学生：如果 Vxo = 0 ，代表什么物理含义呢？ ...
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德国艺术类院校每天都干些啥
如果你选择德国艺术类院校，你会发现，自己好轻松。每天看着理科生匆匆的脚步，突然有种天上人间的感觉。放心吧，苦逼的日子在后面。 德国艺术类院校，基本是以Project为主，老师一个学期出个题，感觉好虚无飘渺的一句话，让你做个结果。这个结果可以是抽象的理论，也可以是实际的物体。 于是有人就做理论了，Seminar开讲，看看大家一脸萌萌的样子，是不是可笑。 也有人做实际的东西了，拍一组照片啊，搞个手工啊，建筑系的，喜欢搞Bauhaus的模型，而平面系的更喜欢设计个海报。绘画系的嘛，多半就是野兽派乱涂乱画一番。按理科生的话说，就是：把好的东西，弄破成了一堆垃圾，让教授看。 好吧，毕竟是学生嘛，要求不要太多。 ...
